Una derivación lógica es un proceso ordenado y paso a paso mediante el cual se llega a una conclusión partiendo de una o varias premisas, usando únicamente reglas válidas de inferencia.

Es como una especie de "camino razonado" que permite justificar claramente cómo es que llegamos a una conclusión, sin dejar espacio a la intuición o al capricho, sino mostrando cada paso lógico que valida el razonamiento.

Cuando ves una derivación lógica escrita, es normal que parezca como si fuera una lista de ecuaciones o pasos matemáticos, pero en realidad lo que muestra es el esqueleto del razonamiento, dejando claro que la conclusión no es inventada ni surge de la nada, sino que está sustentada en cada paso anterior.

1.- Ordenemos nuestras premisas y nuestra conclusión

P→Q     Premisa
Q→R     Premisa
P            Premisa
⊢
R           Conclusión

La funcionalidad principal de las derivaciones lógicas, es demostrar que una conclusión se sigue de sus premisas, pero, ¿por qué no hacemos una tabla de verdad?, esto porque la derivación lógica se usa cuando quieres mostrar paso a paso cómo se llega a una conclusión, como si fuéramos a explicar el razonamiento en cámara lenta. En cambio, la tabla de verdad revisa todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para las proposiciones, y te dice si el argumento es válido o no, pero no muestra cómo se llega a la conclusión, sólo si es siempre verdadera. La derivación nos muestra solidez, las tablas nos muestran validez. 

Ahora siguiendo con nuestro ejemplo, nuestra conclusión es R, en una tabla de verdad podemos analizar si R es o no es verdadera, pero lo que nos importa en esta ocasión no es saber eso, sino saber cómo llegamos a R, para esto necesitamos entender las "Reglas de inferencia", intentemos derivar nuestro ejemplo.

2.- Enlistar nuestras premisas

Para poder llevar un orden en nuestra derivación, se recomienda enumerar todas nuestras premisas, de este modo, cuando apliquemos las reglas de inferencia, podremos fácilmente demostrar gracias a que pasos estamos obteniendo nuestros resultados, así cada paso añadiendo 1 mas a nuestra lista. Para esto, no se toma en cuenta la conclusión.

1.- P→Q     Pr.
2.- Q→R     Pr.
3.- P            Pr.

3.- Aplicar las reglas de inferencia

Para este paso debemos de ir en orden, el objetivo de la derivación lógica es llegar con nuestras premisas a nuestra conclusión, por lo que debemos de analizar qué regla de inferencia nos podrá guiar, así como en el siguiente ejemplo:

1.- P→Q     Pr.
2.- Q→R     Pr.
3.- P            Pr.
4.- Q           MP 1,3
5.- R           MP 4,2

¿Qué fue lo que hicimos aquí? Aplicamos las reglas de inferencia (las cuales vienen a continuación), cada vez que se realiza una regla, se añade un nuevo paso, y se coloca el resultado de nuestra regla de inferencia, en este caso, originalmente nuestras premisas solo son 3 puntos diferentes, pero entre el punto 1 y 3 se puede aplicar la regla de inferencia conocida como Modus Ponens, el cual lo abreviamos como "MP", y posteriormente se coloca la justificación, la cual está colocada entre todos los puntos que se usaron para realizarla, si para la misma regla se usan 3 o mas puntos, se pueden enlistar de no ser consecutivos (pj: 1,2,4,6) o darles un rango en caso de ser consecutivos (pj: 1-5).

Con esto ahora podemos ver, que entre nuestro punto 2 y nuestro punto 4, podemos volver a aplicar la misma regla para obtener R.

Una vez explicada la nomenclatura y grafica que vamos a seguir, a continuación los dejo con las reglas de inferencia.

REGLAS DE INFERENCIA

Reglas de inferencia — más importantes y comunes:

- Modus Ponens (MP):
p → q, p ⊢ q
Esta regla nos dice que, Si P implica a Q, y esto es verdadero, si P es verdadero, entonces Q es verdadero, por lo que Q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona una implicación material, recordemos que, es suficiente con que P sea verdadera, para que Q también lo sea, por ello, en todo escenario donde la implicación sea verdadera, y P sea verdadera, Q también lo es. Aplicándolo a ejemplos con el lenguaje natural, si decimos “Si llueve, el piso se moja, es el caso que está lloviendo”, entonces podemos concluir que “el piso se moja” 

- Modus Tollens (MT):
p → q, ¬q ⊢ ¬p
Esta regla nos dice que, Si P implica Q, y esto es verdadero, si Q es falso, entonces P es falso, por lo que ¬P queda derivada. No confundir con p → q, ¬p ⊢ ¬q, esto no es una regla de inferencia, contrariamente, es una falacia. Esta regla nos dice que, Si P implica Q, y esto es verdadero, si Q es falso, entonces P es falso, por lo que ¬P queda derivada. No confundir con p → q, ¬p ⊢ ¬q, esto no es una regla de inferencia, contrariamente, es una falacia. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos de igual forma a la implicación material, puesto que, si planteamos que la implicación completa es verdadera, pero también es el caso que Q es falsa, es suficiente con que esta sea falsa, para que P también lo sea; es importante diferenciarlo del caso falaz “p → q, ¬p ⊢ ¬q”, ya que aquí se está cometiendo una falacia de petición de principio, en la cual estamos diciendo que, si nuestra premisa P es falsa, eso es suficiente para Q también lo sea, situación que argumentalmente no tiene sentido. Aplicándolo a ejemplos con el lenguaje natural, si decimos “Si llueve, entonces el piso se moja, y no es el caso que esté lloviendo”, podemos derivar que “no es el caso que esté lloviendo”

- Silogismo Hipotético (SH):
p → q, q → r ⊢ p → r
Esta regla nos dice que si P implica Q, y Q a su vez implica R, y ambas son verdaderas, entonces P es la causa primera de Q, lo que P→ Q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si lo vemos como una cadena de eventos, donde el último evento siempre se va a dar (no exclusivamente) cuando el primer evento se de, es igualmente correcto añadir más implicaciones si hacer el silogismo hipotético, por ejemplo si tuviésemos como premisa a parte R→S, S→T sabemos que es correcto derivar P→T.

- Silogismo Disyuntivo (SD):
p ∨ q, ¬p ⊢ q
Esta regla nos dice que si P o Q es verdadera como disyunción, y P es falsa, por lo tanto, Q es verdadera, por lo que Q queda derivada, esto mismo aplica al revés, donde p ∨ q, ¬q ⊢ p. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona la disyunción, puesto que, para que una disyunción sea verdadera, es suficiente que al menos una de las proposiciones sea verdadera, para que la disyunción completa lo sea, por lo que, de ser el caso que si P o Q son falsas, si la disyunción es verdadera, entonces la otra proposición será verdadera. Aplicándolo a ejemplos del lenguaje natural, si decimos “es el caso que está lloviendo, o hace calor, no está lloviendo” podemos derivar que “hace calor”, 

- Dilema Constructivo (DC):
p → q, r → s, p ∨ r ⊢  q ∨ s
Esta regla nos dice que si P implica Q,  R implica S, y es el caso que P o R, y todo eso es verdadero, se deriva Q o S. Esto se puede entender más fácilmente si lo analizamos de esta forma, al tener dos implicaciones que mutuamente no tienen ninguna conexión, y es el caso que se cumple por lo menos uno de los dos eventos que causan la implicación, por ende, al menos se va a cumplir una de las consecuencias de dicha implicación. Poniéndolo en ejemplos del lenguaje natural, si decimos “si llueve, entonces el piso se moja, si tiro el vaso entonces se rompe, es cierto que llueve o tiré el vaso” podemos derivar “El piso se moja o el vaso se rompe”.
(Tip extra: El dilema constructivo sigue la misma estructura del Modus Ponens, donde p → q, p ⊢ q)

- Dilema Destructivo (DD):
p → q, r → s, ¬q ∨ ¬s ⊢ ¬p ∨ ¬r
Esta regla nos dice que si P implica Q, R implica S, estos dos son verdaderos, y es el caso que P es falso o R es falso, se deriva que no es caso que P, o que no es caso que R. Esto se puede entender más fácilmente si lo analizamos de esta forma, al tener dos implicaciones que mutuamente no tienen ninguna conexión, y no se cumple al menos una de las consecuencias de dicha implicación, entonces, no se cumple una o ambas de las causas de la implicación. Poniéndolo en ejemplos del lenguaje natural, si decimos “si llueve, entonces el piso se moja, si tiro un vaso entonces se rompe, y no es caso que el piso esté mojado, o que se haya roto el vaso”, podemos derivar “no llovió, o no se tiró el vaso”.
(Tip extra: El dilema destructivo sigue la misma estructura del Modus Tollens, donde p → q, ¬q ⊢ ¬p)

Reglas de simplificación:

- Conjunción (Con):
p, q ⊢ p ∧ q
Esta regla nos dice que si P es verdadero y Q es verdadero, entonces es válido afirmar que "P y Q" es verdadero, por lo que p ∧ q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona una conjunción, ya que para que esta sea verdadera es necesario que ambas proposiciones lo sean; por ello, si ya sabemos que P es verdadera y que Q también lo es, no hay duda de que su conjunción también lo será. Aplicándolo a ejemplos del lenguaje natural, si decimos “Está lloviendo, hace frío” podemos derivar que “Está lloviendo, y hace frío”

- Simplificación (Sim):
p ∧ q ⊢ p
Esta regla nos dice que si "P y Q" es verdadero, entonces P es verdadero, por lo que P queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos que en una conjunción ambas proposiciones deben ser verdaderas para que la conjunción sea verdadera, por lo que, sí sabemos que p ∧ q es verdadero, entonces necesariamente P lo es, ya que de lo contrario la conjunción completa no podría ser verdadera, esto mismo aplica para Q, la cual también puede ser derivada de la misma forma. De la misma forma es posible derivar Q si se necesitara. Aplicándolo a ejemplos del lenguaje natural, si decimos “Está lloviendo y hace frío” podemos derivar que “está lloviendo”

- Adición (Ad):
p ⊢ p ∨ q
Esta regla nos dice que si P es verdadero, es válido afirmar que "P o Q" es verdadero, por lo que p ∨ q queda derivada. Esto se puede entender más fácilmente si recordamos cómo funciona una disyunción, ya que para que esta sea verdadera es suficiente con que al menos una de las proposiciones lo sea; por lo tanto, si sabemos que P es verdadera, la disyunción completa será verdadera sin importar el valor de verdad de Q. Aplicándolo a ejemplos del lenguaje natural, si decimos “está lloviendo”, perfectamente podemos derivar “está lloviendo o hace calor”, aunque la proposición que estemos añadiendo no sea verdadera, esto no afecta al resultado, puesto que no vuelve falsa la premisa completa. 

Reglas de Inferencia de Equivalencia

- Doble Negación (DN):
p≡¬¬p.
Esta regla lo que nos dice, es que cualquier proposición que sea negada dos veces, equivale a que sea una afirmación, esto debido a que la contradicción cambia el valor de verdad de cualquier proposición, si tenemos una proposición verdadera, al negar se vuelve falsa, y al negar se vuelve una vez más verdadera.

- Ley de Conmutación (LC):
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ↔ q ≡ q ↔ p
Esta regla lo que nos dice es que cualquier proposición que esté en una conjunción, disyunción o bicondicional, pueden cambiar su orden por la otra proposición sin afectar lo que están expresando. Por ejemplo, es lo mismo decir “Llueve y hace frío” qué decir “Hace frío y llueve”, lo mismo que decir “Hace calor o frío” que decir “Hace Frío o calor”, y lo mismo aplica al decir “Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes” que decir “Mañana es martes si y sólo si hoy es lunes”.

- Ley de Asociación (LA)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r).
Esta ley nos dice que cuando en una expresión lógica hay varias conjunciones o disyunciones seguidas, el modo en que agrupamos las proposiciones no afecta su significado. Es decir, no importa si primero agrupamos dos y luego las unimos con la tercera, o al revés, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo, es igual decir "Voy al cine o a la tienda, o al parque" que decir "Voy al cine, o a la tienda o al parque"; y lo mismo sucede si hablamos de "Hoy estudio y hago tarea, y también leo", sin importar qué acciones agrupemos primero, el sentido sigue igual. Esto tiene como fin traducir citaciones no ambivalentes a un lenguaje bivalente.

- Ley de Distribución (LD)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
Esta ley nos indica que una conjunción o disyunción puede "distribuirse" sobre otra operación sin que cambie el significado. Por ejemplo, la frase "Traeré paraguas y (llueve o hace viento)" es lo mismo que decir "(Traeré paraguas y llueve) o (Traeré paraguas y hace viento)". De manera similar, "Estudiaré o (tengo examen y estoy preparado)" es igual a decir "(Estudiaré o tengo examen) y (Estudiaré o estoy preparado)". La idea es que la relación entre las proposiciones se mantenga aunque cambiemos la forma de escribirla.

- Ley de De Morgan (DM)
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.
Esta regla nos dice las negaciones cuando afectan a conjunciones o disyunciones. En el caso primero, lo que nos está diciendo es que, no es el caso que la conjunción se cumple, lo que es lo mismo a decir, que no se cumple una proposición o la otra (o ambas), por ejemplo, “No es el caso que, llueve y hace calor” es igual a decir “no hace calor, o no llueve”. Para el segundo caso, lo que nos está diciendo es que, no es el caso que la disyunción se cumpla, y sabemos que para que esto ocurra, dado que por lo menos una debe de ser verdadera para que la disyunción lo sea, significa que ninguna de las dos proposiciones lo es, lo que podemos ejemplificar como “No es el caso, que llueve o hace frío”, es igual a decir “No llueve, ni hace frío”.

- Ley de Materialización o Condicional Material (CM)
p → q ≡ ¬p ∨ q.
Esta regla nos dice que cualquier oración que sea un condicional, es decir, que tenga la forma "Si p, entonces q", en realidad se puede escribir como una disyunción. Esto significa que la frase será verdadera siempre que P no ocurra, o que Q sí ocurra. Por ejemplo, si decimos "Si llueve, el piso se moja", la oración es igual a decir "No llovió, o el piso se moja", lo cual expresa la misma información que la implicación original

- Ley de Contraposición (LP)
p → q ≡ ¬q → ¬p.
Esta regla nos dice que un condicional puede expresarse también en su forma contraria y seguirá teniendo el mismo valor de verdad. Es decir, decir "Si p, entonces q" es lo mismo que decir "Si no q, entonces no p". Por ejemplo, "Si llueve, la calle se moja" es equivalente a decir "La calle no está mojada, entonces no llovió".